水素原子のモデル
古典論では、電子と陽子が近ければ近いほどエネルギーを下げられるので、このようなモデルは成立たない。

そこで量子力学を導入する。

一般に、エネルギーの期待値は

で与えられると定義するのが都合が良いことが観測事実から分かっている。

従って水素原子のハミルトニアンは、


となる。

従って、計算すると
とおける。
先ほど求めた不確定性関係より、

このように、古典力学では求められなかった、最も安定な電子と原子の距離、その時のエネルギーを求められた。その値から微細構造定数ももとめることができる。