【量子力学】井戸型ポテンシャルでの粒子の動きの求め方•シュレーディンガー方程式の解き方 #分かりやすい #大学一年 #ポテンシャル #グラフ #波動関数
★ 井戸型ポテンシャルの定義は、以下のようにする。
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ポテンシャルが高いということは、エネルギーが高いということ。位置エネルギーでは高さが高いほどポテンシャルが高い。
この場合、井戸型にエネルギーが高いということは他の原子などが井戸型に存在し、ぶつかると物理的反発により押し返されることを想定している。
★ ポイント
• 束縛条件「x→無限で波動関数→0」「波動関数の境界での値が一致する」を用いる
★ 解答
この条件でシュレーディンガー方程式
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を解いて、粒子がどのように分布するか求めたい。
式変形し
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ここで、領域ごとのポテンシャルを代入して、
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のように、波動関数は二つに分かれる。
まず、|x|>aでの波動関数uの振る舞いについて考える。
①の式を変形し、
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この微分方程式は簡単に解けて、解uは
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となる。
ここで、
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について考える。
E>V0のとき、純虚数なので、xが無限大のときどちらの項も0に収束しない。(束縛状態にならない)
よって、E
xが無限大のとき波動関数は0になることから、波動関数は場合分けして
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と求められる。このときの波動関数は、以下のようなグラフになる。
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粒子がポテンシャルの壁を突き抜けて、「染み出して」行くのがわかる。
壁の中に空間があればそこに粒子が存在することになる。
最初の方で求めた②の式
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について、同様に
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とおく。
エネルギーEはゼロより大きいので、kは正。
従って、波動関数uを展開して
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とかける。
波動関数のx=+-aにおける連続性から規格化し、整理する。
連続性→関数の値、微分係数の値が共に一致すると言い換えられる。
先程求めた|x|>aでの式を用い、
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一、Aがゼロの時、
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先程計算を省略した規格化条件の式より、Aがゼロなので
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が成り立つ。
二、Bがゼロの時、
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先程計算を省略した規格化条件の式より、Bの値がゼロなので
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が成り立つ。
これらの条件式の解により、波動関数のkやρが決まる。
解の個数個ぶん、波動関数が存在するともいえる。
二、のBがゼロの時、
式を簡単にするために下の量を定義すると
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規格化条件により成り立つ式は以下のように解を持つ。
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一、のAがゼロのとき、
同様に
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以上の議論が意味すること
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