不確定性原理＝量子力学的状態は全ての物理量を同時に確定することはできない

これを証明する。

全ての物理量を確定できる波動関数が無いことを示せば良い。

物理量が確定するということは、期待値の分散が0になるということ。

簡単のため、

とする。

  1. 波動関数Ψはある時刻に

を与える。

  1. （天下り的な解き方になるが）次の不等式が任意の実数αについて成り立つことを用いる。


  1. 2.の不等式の各項を展開してみると、



  1. まとめると、以下の不等式になる。

αの二次方程式と見たとき、２つの異なる実数解を持たない。


従って、二次方程式の判別式

従って、xとpの不確定性さの積は、h程度かそれ以上となる。

可換ではない二つの物理量は、同時に確定できない。