不確定性原理＝量子力学的状態は全ての物理量を同時に確定することはできない
これを証明する。
全ての物理量を確定できる波動関数が無いことを示せば良い。
物理量が確定するということは、期待値の分散が0になるということ。
簡単のため、

とする。
  1. 波動関数Ψはある時刻に

を与える。
  1. （天下り的な解き方になるが）次の不等式が任意の実数αについて成り立つことを用いる。

  1. 2.の不等式の各項を展開してみると、

  1. まとめると、以下の不等式になる。

αの二次方程式と見たとき、２つの異なる実数解を持たない。

従って、二次方程式の判別式

従って、xとpの不確定性さの積は、h程度かそれ以上となる。
可換ではない二つの物理量は、同時に確定できない。